Por la época en que Brahmagupta escribía sus tratados
matemáticos ya se había derrumbado el imperio Sabeo de la Arabia
Felix, y la península arábiga se encontraba sumida en una profunda
crisis. Arabia estaba habitada entonces en su mayor parte por
nómadas del desiertos, conocidos con el nombre de beduinos, que no
sabían leer ni escribir, y en este marco socio político surgió el profeta
Mahoma, nacido en la Meca en el año 570 d.c. Mahoma fue el
fundador del Islam, religión que se extendió en poco tiempo por toda
Arabia y que tiene como dogmas la creencia en un Dios único y en una
vida futura, en la resurrección y en el juicio final.
La primera parte de su vida, fue la de un ciudadano medio que
vive en una ciudad de 25.000 habitantes. A los 40 años empezó a
predicar, primero en un pequeño grupo de fieles, después a la
población en general, sentando así las bases de la religión islámica.
En el año 622 d.C, su vida se vio amenazada por un complot,
lo que le obligó a trasladarse a Yatrib, más tarde denominada Medina.
Esta “huida”, conocida como la Hégira, señala el comienzo de la Era
Mahometana, que iba a ejercer durante siglos una poderosa influencia
en el desarrollo de las matemáticas.
La unidad de la civilización islámica se basaba mucho en la
religión de Mahoma y en las actividades económicas que en una
hegemonía política real. No obstante, esta debilidad política no impidió
a los árabes dominar grandes territorios durante siglos y tomar el relevo
en la Escuela de Alejandría, mientras que el Occidente atravesaba
siglos oscuros y poco propicios a la evolución de las matemáticas.
PRINCIPALES MATEMÁTICOS ÁRABES
Muhammad ibn Musa al-Khawarizmi
Abu Jafar Muhammad ibn Musa al-Khawarizmi, nació alrededor
del 780 d.C. Su nombre sugiere que, o bien él, o bien su familia
procedían de Khawarizmi, al este del mar Caspio en lo que es hoy Asia
Central soviética.
Por el año 820, tras adquirir una reputación de científico
dotado en Merv, capital de provincias orientales del califato abasí, fue
invitado por el califa Al-Mamun a trasladarse a Bagdad, donde fue
nombrado, primero astrónomo y después, jefe de la biblioteca de la
Casa de la Sabiduría.
Este matemático, escribió mas de media docena de obras
astronómicas y matemáticas. Además de tablas astronómicas y
tratados sobre el astrolabio y el reloj de sol, escribió dos libros sobre
aritmética y álgebra que jugaron un papel muy importante en la
historia de las matemáticas. En su obra aritmética, cuyo título en latín
es De numero Indorum (el original árabe no ha llegado hasta nosotros),
al-Khawarizmi presenta diversas reglas para el cálculo numérico,
basadas en los algoritmos indios además de exponer detalladamente el
sistema de numeración utilizado por los indios. En Europa, a finales de
la Edad Media, atribuyeron al autor árabe la paternidad de la
numeración utilizada. Y así el nuevo sistema de notación vino a ser
conocido como “el de al-Khawarizmi” y , a través de deformaciones del
nombre en la traducción y en la trasmisión, simplemente como
“algorismi”.
La obra principal de al-Khawarizmi es Hisab al-<abr wa’l
muqqabala, que significa “ciencia de la transposición y la
reducción”, donde el término “la-yabr” se convirtió en “álgebra”,
sinónimo de la ciencia de las ecuaciones. A veces se le llama a
Diofanto el padre del álgebra, pero ese título se le aplicaría a alKhwarizmi. A los árabes en general les gusta extraordinariamente
poder seguir una argumentación lógica correcta y clara de las premisas
a la conclusión, así como una organización sistemática, aspectos
ambos en los que ni Diofanto ni los hindúes brillaban precisamente. Los
hindúes tenían muy desarrollada una capacidad de asociación y
analogía, de intuición y de instinto estético unidos a una imaginación
natural, mientras que los árabes tenían una mentalidad más práctica y
más a ras de tierra en su enfoque de la matemática.
Al-yabr: El al-yabr nos ha llegado en dos versiones, la árabe y una
traducción latina, pero en la traducción latina, que lleva por título Liber
algebrae et almucabola, falta una parte considerable del manuscrito
original árabe. Por ejemplo, la versión latina no tiene prólogo,
probablemente por una razón elemental de precaución por parte del
traductor, ya que en su prólogo en árabe el autor formula las alabanzas
usuales al profeta Mahoma y a Al-Mamun.
La palabra al-yabr significa probablemente algo así como
“restauración” o “completación”, y parece querer referirse a la
transposición de términos que están restados al otro miembro de la
ecuación, sumándolos.
Las ecuaciones cuadráticas
La traducción latina del Álgebra de Al-Khwarizmi comienza con
una breve introducción acerca el principio de notación posicional para
los números, y a continuación se expone, en seis breves capítulos, la
solución de los seis tipos de ecuaciones que resultan al considerar
simultáneamente en presencia los tres posibles tipos de cantidades:
cuadrados, raíces, números (es decir, x, y, y números). Tal como
expresaba esta situación Abu-Kamil Shoja ben Aslam, un matemático
posterior.
El capítulo I cubre, en tres breves párrafos, el caso de los
cuadrados igual a raíces, que podemos expresar en notación moderna
como x² = 5x, x²/3 = 4x y 5x² = 10x, ecuaciones para las que se dan las
soluciones x = 5 , x = 12 , x = 2 , respectivamente (la raíz x = 0 no se
reconoce como tal).
El capítulo II cubre el caso de los cuadrados igual a numeros, y
el capítulo III resuelve el caso de las raíces igual a números, ofreciendo
de nuevo tres ejemplos en cada capítulo para cubrir los casos en que el
coeficiente del término variable es igual, mayor o menor que 1.
Los capítulos IV, V, VI son más interesantes, puesto que se
ocupan de la resolución de los tres casos clásicos que presentan las
ecuaciones cuadráticas completas:
1) Cuadrados y raíces igual a números
2) Cuadrados y números igual a raíces
3) Raíces y números igual a cuadrados
La fundamentación geométrica
El Álgebra de al-Khwarizmi revela en su contenido elementos
griegos inconfundibles, pero la primera demostración geométrica con
que nos encontramos en ella tiene poco que ver con la matemática
clásica griega. Para resolver la ecuación x² + 10x = 39 traza alKhwarizmi un cuadrado ab para representar x, y sobre los cuatros
lados de este cuadrado construye cuatro rectángulos c, d, e y f, de 2 ½
unidades de ancho cada uno. Para completar el cuadrado mayor que
los incluye a todos ellos hay que añadir los cuatro cuadrados menores
de las esquinas (que aparecen punteados en la figura siguiente), cada
uno de los cuales tiene un área de 6 ¼ unidades. Por lo tanto, para
“completar el cuadrado” añadimos cuatro veces 6 ¼ ó 25 unidades,
obteniendo así un cuadrado de área total 39 + 25 = 64 unidades, tal
como resulta de la ecuación dada. Por lo tanto, el lado del cuadrado
mayor debe ser igual a 8 unidades, del cual, restando dos veces 2 ½ ó 5 unidades, obtenemos x = 3 como solución, demostrando así que la
solución hallada en la ecuación de tipo 4 era correcta.
Un problema de Herón
Algunos de los problemas de al-Khwarizmi evidencian con toda
claridad, su dependencia de la corriente matemática que proviene de los
babilónicos pasando por Herón. Y uno de ellos al menos fue tomado
directamente de Herón con gran probabilidad, ya que tanto la figura como
las dimensiones son las mismas. Se trata de inscribir un cuadrado en un
triángulo isósceles de base 12 unidades y lados iguales de 10 unidades,
preguntando el problema la medida del lado de dicho cuadrado. El autor
del Álgebra calcula en primer lugar, con ayuda del teorema de Pitágoras,
la altura del triángulo, 8 unidades así que el área del triángulo es 48.
Llamando al lado del cuadrado “la cosa”, se puede ver que se obtendrá el
cuadrado de “la cosa” restándole al triángulo grande los tres triángulos
pequeños que quedan fuera del cuadrado.
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