TRIGONOMÉTRICA HINDÚ
El desarrollo de nuestro sistema de notación para los números naturales fue sin duda una de las dos contribuciones mas importantes de la india a la historia de las matemáticas. La otra consistió en la introducción de la equivalente a la función seno en trigonométrica, para reemplazar las tablas de cuerdas griegas: las tablas mas antiguas de la relación seno que han llegado hasta nosotros son las las que figuran en los Siddhantas y en el Aryabhatiya, donde se dan los senos de los ángulos menores o iguales que 90° para 24 intervalos angulares iguales de 3/3° 4/) cada uno. Para expresar la longitud del arco y la del seno en términos de la misma unidad, se tomaba como radio 3.438 unidades y la circunferencia correspondiente como 360x60=21.600 unidades; esos valores implican un valor de π que coincide con el Ptolomeo hasta la cuarta cifra significativa, pero Aryabhata utiliza en otros contextos el valor 10 π, valor que aparece tan frecuentemente en la India que se le conoce a veces como <> de π.
EL MÉTODO DE LA MULTIPLICACIÓN HINDÚ
La trigonométrica hindú fue evidentemente una herramienta auxiliar para la astronomía tan útil como precisa. El como llegaron los hindúes a resultados tales como la formula de recursion para los senos antes mencionados, nos es desconocido, pero si se ha sugerido 10 que tales reglas pudieron venir motivadas por un desarrollo intuitivo o empírico del calculo con ecuaciones en diferencias de la practica de la interpolación; de hecho, se suele caracterizar frecuentemente la matemática hindú en general como <>, para ponerla en contraste con el severo racionalismo de la geometría Griega. A pesar de que evidente la influencia Griega en la trigonométrica hindú, parecen no haber tenido ocasión de adoptar la geometría Griega, o bien no aprovecharon la ocasión, interesados como estaban únicamente en reglas de medición sencilla.
ÁLGEBRA
En India antigua el termino de matemática convencional Ganitam era conocido antes del desarrollo de álgebra. Esto es confirmado por el nombre Bijaganitam, que se dio a la forma algebraica de calculo. Bijaganitam quiere decir "la otra matemática", o sea, Bija= otra, y Ganitam= matemáticas. algunos han interpretado el termino bija como sencilla, simbolizando origen o comienzo.
GEOMETRÍA Y ALGORITMO
Incluso en el área de la geometría, los matemáticos indios tenían su contribución. había un área de aplicaciones matemáticas llamada Rekha Ganita (calculo de la linea). El Sulvasutra da métodos de geometría para construir altares y templos. los esquemas de templos se llamaron Mandalas. Algunos trabajadores importantes en este campo son Baudhayana, Apastamba, Hiranyakesin, Manava, Varaha y Vadhula.
SUMAR Y RESTAR CON VARILLAS
En las primeras obras aritméticas conservadas, particularmente el Suan shu shu y el Jiuzhang, se utilizan las operaciones elementales de la Aritmética como un conocimiento consabido sin hacerlas explícitas como tales en ningún momento. Sí queda claro que se efectúan con varillas de un modo habitual pero explicar su funcionamiento parece estar fuera del interés de obras destinadas al conocimiento de funcionarios de la administración china. Hay que esperar al siglo III d. C. para que otros textos, como el Su Zi suan jing (Manual matemático de Sun zi) o el Xiahou Yang Suan jing (Manual matemático de Xiahou Yang) se encargasen de transmitir a sus lectores las reglas fundamentales para realizar paso a paso estas operaciones. Aunque su realización se llevaba a cabo con varillas, como veremos luego, vamos a presentar inicialmente estas reglas con nuestros números indo arábigos. Supongamos que hemos de realizar la suma 378 + 296 En primer lugar, se colocan como actualmente uno sobre el otro de manera que coincidan las unidades del mismo orden (unidades con unidades, decenas con decenas, etc.). 3 7 8 2 9 6 A continuación se comienza la suma por las unidades más altas, en este caso las centenas. El resultado así de sumar 3 y 2 centenas (5) sustituye a las centenas del sumando superior desapareciendo las del inferior por haber sido realizado. 5 7 8 9 6 Seguidamente, se suman las decenas (7 y 9) pero como el resultado excede a diez, la centena que resulta se añade a las 5 que se tenían como resultado. 6 6 8 6 que da paso a 6 7 4 como resultado final. Estos mismos pasos, realizados con varillas, instrumento fundamental de cálculo hasta la llegada del ábaco en el siglo XV, muestran una apariencia distinta.
Fracciones
El avanzado tratamiento aritmético que se encuentra en los cálculos de las principales y tempranas obras dedicadas a este conocimiento, había de continuarse con el uso de fracciones. La razón fundamental es la de alcanzar una mayor exactitud en el cálculo. Así, la unidad de medida de longitud más habitual para medir un campo era el zhang, equivalente a unos 2,3 metros. Entre las unidades de masa utilizadas para medir la cantidad de bronce utilizado la medida del shi equivalía a casi treinta kg., mientras que otra subunidad, el jin, venía a corresponder a un cuarto de kg. Una mera aproximación en este tipo de medidas conducía a una acumulación de errores, sobrecostes, pérdidas en las ventas y recaudación de impuestos, etc. Naturalmente, siempre cabía utilizar la expresión de una cantidad mediante las subunidades. Por ejemplo, las unidades de longitud en el período Han eran: cun ---> x 10 ----> chi ---> x 10 ----> zhang es decir, 1 zhang = 10 chi 1 chi = 10 cun Pues bien, supongamos la cantidad de 1zhang y ¾ de zhang. ¾ de zhang se puede transformar en chi sin más que multiplicar por diez: ¾ zhang x 10 = 30/4 chi = 7 chi y 2/4 de chi. que a su vez se puede transformar en cun : 2/4 de chi x 10 = 20/4 cun = 5 cun.
Calculo primitivo
En el Suan shu se encuentra un problema cuya resolución implica el cálculo de una raíz cuadrada. Consiste en calcular el lado de un campo cuadrado cuando se conoce su superficie, que en el caso concreto de la varilla 185, es de 1 mu. Hay que recordar que 1 mu = 240 bu2 Pues bien, en el tiempo de redacción de este texto parece que el cálculo de la raíz cuadrada no era conocido, hecho que sí es consta table en la redacción del Jiuzhang, que debió escribirse en un tiempo posterior. El autor o autores del Suan shu, a falta de un procedimiento específico, aplican a la resolución de este problema el mismo método de doble falsa posición visto en el capítulo anterior. Así, se plantean dos casos hipotéticos: Caso 1: Si el lado es 15 bu, la superficie del campo sería 152 = 225 bu2 registrándose por tanto un déficit de 15 bu2. Caso 2: Si el lado fuera de 16 bu. 162 = 256 bu2 habiendo por tanto un exceso de 16 bu2. Por consiguiente, puede establecerse el siguiente esquema: 15 16 así, 15 16 que puede comprobarse que es una buena aproximación: ( 15 15/31 )2 = 239 761/931 ≈ 240.
Sistema de ecuaciones lineales
Mientras en las culturas mesopotámica y egipcia los procedimientos matemáticos eran más primitivos por lo general y además se dispone de una abundante información arqueológica, en el caso de las matemáticas chinas no es así. Sus métodos son más elaborados y sofisticados matemáticamente que los de aquellas culturas. Se desconocen además, por falta de datos, las bases económicas, cotidianas, a partir de las cuales surge la necesidad de resolver unos determinados problemas, y también los fundamentos más primitivos, intentos primerizos, de resolverlos. Lo que ha llegado hasta el día de hoy son una serie de textos escritos sobre bambú o, más tarde, en papel, destinados a resumir los conocimientos matemáticos en resolución de problemas para su aplicación en la Administración china. La propia naturaleza y justificación de las matemáticas en aquella época excluye los razonamientos conceptuales, las construcciones teóricas o todo tipo de explicación de por qué nacen los procedimientos de la forma en que lo hacen. Como en los recientes vademécum de los ingenieros, se ofrece un método para resolver el tipo de problemas a los que tiene que enfrentarse el funcionario chino. En muchos casos, la construcción teórica es olvidada y así se asiste a la presencia de numerosas reglas de resolución de problemas con pequeñas variaciones entre sí y que hoy distinguimos como formas de un método más general.
El teorema del gou gu
“El cuadrado pertenece a la Tierra, y el círculo pertenece al Cielo. El Cielo es un círculo y la Tierra es el cuadrado. Los números del cuadrado son básicos y el círculo es producido a partir del cuadrado”. Esta afirmación, en términos matemáticos, se traducía en el Jiuzhang como una relación 3 a 4 entre ambas áreas: En otras palabras: A partir del área del cuadrado se puede deducir la del círculo y viceversa, dado que la relación entre ambos es A Circulo / A Cuadrado = 3 / 4. De esta estrecha relación matemática y espiritual entre los números 3 y 4 surge la relación pitagórica más elemental: 3 2 + 4 2 = 5 2.
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