viernes, 17 de mayo de 2019
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Geometría Analítica. Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.
Historia de la geometría analítica
Existe una cierta controversia sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez como "Geometría analítica", apéndice al Discurso del método, de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemáticos franceses tuvieran acceso a su obra.
El nombre de geometría analítica corrió parejo al de geometría cartesiana, y ambos son indistinguibles. Hoy en día, paradójicamente, se prefiere denominar geometría cartesiana al apéndice del Discurso del método, mientras que se entiende que geometría analítica comprende no sólo a la geometría cartesiana (en el sentido que acabamos de citar, es decir, al texto apéndice del Discurso del método), sino también todo el desarrollo posterior de la geometría que se base en la construcción de ejes coordenados y la descripción de las figuras mediante funciones algebraicas o no hasta la aparición de la geometría diferencial de Gauss (decimos "paradójicamente" porque se usa precisamente el término "geometría cartesiana" para aquello que el propio Descartes bautizó como "geometría analítica").
El problema es que durante ese periodo no existe una diferencia clara entre geometría analítica y análisis matemático esta falta de diferencia se debe precisamente a la identificación hecha en la época entre los conceptos de función y curva, por lo que resulta a veces muy difícil intentar determinar si el estudio que se está realizando corresponde a una u otra rama.
La geometría diferencial de curvas sí que permite un estudio mediante un sistema de coordenadas, ya sea en el plano o en el espacio tridimensional. Pero en el estudio de las superficies, en general, aparecen serios obstáculos. Gauss salva dichos obstáculos creando la geometría diferencial, y marcando con ello el fin de la geometría analítica como disciplina. Es con el desarrollo de la geometría algebraica cuando se puede certificar totalmente la superación de la geometría analítica.
Es de puntualizar que la denominación de analítica dada a esta forma de estudiar la geometría provocó que la anterior manera de estudiarla (es decir, la manera axiomático-deductiva, sin la intervención de coordenadas) se terminara denominando, por oposición, geometría sintética, debido a la dualidad análisis-síntesis.
Actualmente el término geometría analítica sólo es usado en enseñanzas medias o en carreras técnicas en las que no se realiza un estudio profundo de la geometría.
ASTRONOMÍA Y MECÁNICA
ASTRONOMÍA
Ante la imposibilidad de encontrarles una explicación, estos se asociaron con la magia, buscando en el cielo la razón y la causa de los fenómenos sucedidos en la Tierra. Esto, junto con la superstición y el poder que daba el saber leer los destinos en las estrellas, dominaron las creencias humanas por muchos siglos.
Muchos años de observación sentaron las bases científicas de la Astronomía con explicaciones más aproximadas sobre el Universo. Sin embargo, las creencias geocentristas, apoyadas por los grupos religiosos y políticos con claros intereses de dominación, impusieron durante muchos siglos un sistema erróneo, impidiendo además el análisis y estudio de otras teorías.
Hoy, la evolución y difusión de las teorías científicas han llevado a la definitiva separación entre la superstición (astrología) y la ciencia (Astronomía). Esta evolución no ha ocurrido pacíficamente, muchos de los primeros astrónomos "científicos" fueron perseguidos y juzgados.
Desde hace poco más de cuatro siglos la humanidad se ha "adentrado en el Cosmos" mediante diversos tipos de instrumentos, opticos primero, electrónicos después. En los últimos tiempos hemos fabricado máquinas que, con o sin tripulantes humanos, viajan por el espacio más cercano, llevando incluso mensajes para alguna (de momento, hipotética) civilización extraterrestre.
LA ASTRONOMIA EN LA ANTIGUEDAD
La curiosidad humana con respecto al día y la noche, al Sol, la Luna y las estrellas, llevó a los hombres primitivos a la conclusión de que los cuerpos celestes parecen moverse de forma regular. La primera utilidad de esta observación fue, por lo tanto, la de definir el tiempo y orientarse.
La astronomía solucionó los problemas inmediatos de las primeras civilizaciones: la necesidad de establecer con precisión las épocas adecuadas para sembrar y recoger las cosechas y para las celebraciones, y la de orientarse en los desplazamientos y viajes.
Para los pueblos primitivos el cielo mostraba una conducta muy regular. El Sol que separaba el día de la noche salía todas las mañanas desde una dirección, el Este, se movía uniformemente durante el día y se ponía en la dirección opuesta, el Oeste. Por la noche se podían ver miles de estrellas que seguían una trayectoria similar.
En las zonas templadas, comprobaron que el día y la noche no duraban lo mismo a lo largo del año. En los días largos, el Sol salía más al Norte y ascendía más alto en el cielo al mediodía. En los días con noches más largas el Sol salía más al Sur y no ascendía tanto.Trató de extender a cuatro dimensiones las propiedades de los vectores, creando el álgebra no conmutativa, base del desarrollo matemático de la actual Mecánica Cuántica.El primer refrigerador doméstico mecánico lo fabricó el ingeniero alemán Karl von Linde, modificando un modelo industrial que había diseñado seis años antes para una fábrica de cerveza.
Pronto, el conocimiento de los movimientos cíclicos del Sol, la Luna y las estrellas mostraron su utilidad para la predicción de fenómenos como el ciclo de las estaciones, de cuyo conocimiento dependía la supervivencia de cualquier grupo humano. Cuando la actividad principal era la caza, era trascendental predecir el instante el que se producía la migración estacional de los animales que les servían de alimento y, posteriormente, cuando nacieron las primeras comunidades agrícolas, era fundamental conocer el momento oportuno para sembrar y recoger las cosechas.
La alternancia del día y la noche debe haber sido un hecho explicado de manera obvia desde un principio por la presencia o ausencia del Sol en el cielo y el día fue seguramente la primera unidad de tiempo universalmente utilizada.
Debió de ser importante también desde un principio el hecho de que la calidad de la luz nocturna dependiera de la fase de la Luna, y el ciclo de veintinueve a treinta días ofrece una manera cómoda de medir el tiempo. De esta forma los calendarios primitivos casi siempre se basaban en el ciclo de las fases de la Luna. En cuanto a las estrellas, para cualquier observador debió de ser obvio que las estrellas son puntos brillantes que conservan un esquema fijo noche tras noche.
Los primitivos, naturalmente, creían que las estrellas estaban fijas en una especie de bóveda sobre la Tierra. Pero el Sol y la Luna no deberían estar incluidos en ella.
Del Megalítico se conservan grabados en piedra de las figuras de ciertas constelaciones: la Osa Mayor, la Osa Menor y las Pléyades. En ellos cada estrella está representada por un alvéolo circular excavado en la piedra.
Del final del Neolítico nos han llegado menhires y alineamientos de piedras, la mayor parte de ellos orientados hacia el sol naciente, aunque no de manera exacta sino siempre con una desviación de algunos grados hacia la derecha. Este hecho hace suponer que suponían fija la Estrella Polar e ignoraban la precesión de los equinoccios.
MECÁNICA
La historia de la mecánica encierra a un amplio rubro de personajes que a lo largo de su vida han venido dando aportes importantes para la evolución de esta área. Antes de adentrar en los antiguos comienzos de esta disciplina es importante saber que la mecánica es una ciencia que se encarga de estudiar las condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas. Ademas de ello, la mecánica
Es difícil conocer con exactitud los inicios de esta ciencia pero podemos afirmar que los orígenes de la mecánica están muy mezclados con el uso de instrumentos por medio de los cuales el hombre podía intervenir y cambiar la naturaleza a su voluntad en tiempos muy remotos. Entre estos instrumentos se encuentran las diversas armas filosas que eran empleadas por ellos para satisfacer sus necesidades.
La mecánica como ciencia apareció en el periodo helenístico por medio de Arquímedes, quien describió cuantitativamente las leyes de la palanca y otras maquinas simples, las cuales con su uso dieron origen a las primeras nociones de dinámica y estática. Arquímedes estableció los fundamentos de la estática y fue el fundador de la hidrostática al enunciar su famoso principio. Ademas de Arquímedes a lo largo de los años también existieron varios estudiosos de la física que poco a poco sirvieron como impulso al aportar valiosos principios para el desarrollo de la mecánica entre ellos podemos citar a Tartaglia, Galileo Galilei, Newton, Euler, Einstein,entre otros.
El físico y astrónomo italiano Galileo reunió las ideas de otros grandes pensadores de su tiempo y empezó a analizar el movimiento a partir de la distancia recorrida desde un punto de partida y del tiempo transcurrido. Demostró que la velocidad de los objetos que caen aumenta continuamente durante su caída. Esta aceleración es la misma para objetos pesados o ligeros, siempre que no se tenga en cuenta la resistencia del aire (rozamiento). El matemático y físico británico Isaac Newton mejoró este análisis al definir la fuerza y la masa, y relacionarlas con la aceleración. Para los objetos que se desplazan a velocidades próximas a la velocidad de la luz, las leyes de Newton han sido sustituidas por la teoría de la relatividad de Albert Einstein. Para las partículas atómicas y subatómicas, las leyes de Newton han sido sustituidas por la teoría cuántica. Pero para los fenómenos de la vida diaria, las tres leyes del movimiento de Newton siguen siendo la piedra angular de la dinámica (el estudio de las causas del cambio en el movimiento).
HISTORIA DE LA MECANICA
Los antepasados del hombre, al construir sus instrumentos, iniciaron el desarrollo de la mecánica. El origen de los primitivos interrogantes planteados por la mecánica surgió en las antiguas civilizaciones por su necesidad de disponer de máquinas, bélicas o pacíficas, que las liberaran de ciertos esfuerzos.
En la última etapa del homo sapiens, hace unos 20.000 años, a las lanzas y anzuelos empleados para la caza y la pesca se añaden los arpones y, sobre todo, el arma más revolucionaria de la prehistoria: el arco y las flechas, la primera máquina inventada por el ser humano.
El hombre paleolítico, compañero del mamut y el reno, vivió siempre asediado por el hielo, que con sólo algunas intermitencias dejó de cubrir el norte y centro de Europa y Asia. Fue pues de diez milenios el periodo durante el cual el hombre satisfizo todas las necesidades de su vida con el sílex.
Uno de los primeros frutos del ingenio humano, destinado a ponerle a salvo de los elementos naturales, fue la vivienda. En su esencia, las casas que habitamos hoy se basan en los mismos principios que las primeras chozas del Neolítico, adaptaciones, a su vez, de los refugios transportables que usaba el cazador de la Edad de Piedra cuando se alejaba de la caverna que le servía de vivienda en invierno.
Los constructores Egipcios poseían utensilios apropiados para medir y diseñar los planos, utilizan algunos principios de la mecánica para la construcción de pirámides, disponían de la piedra caliza y el granito, así como ladrillos. Cubrían grandes salas utilizando pilares o columnas, dinteles de piedra y losas de grandes dimensiones para los techos; para cubrir espacios emplearon esencialmente el sistema de dintel horizontal monolítico de piedra apoyada sobre pilares, razón por la cual éstos tenían que estar muy próximos, al ser la piedra material no apto a la flexión. Una particularidad importante, que demuestra las preocupaciones constructivas de los egipcios, es la disposición de un dado de piedra sobre el capitel, protegiendo así los bordes frágiles del mismo en su flexión y contribuyendo al centrado de la carga de compresión sobre la columna. Así mismo, en la forma de planta cuadrada, que va decreciendo de sección hasta su cúspide, en los grandes obeliscos egipcios, se adivina la intuición del sólido de igual resistencia a la compresión. Parece que también conocieron el arco como elemento constructivo, pero, de todos modos, las formas adinteladas fueron sus construcciones características.
GEOMETRÍA
La geometría proyectiva apareció como solución al problema del artista para pintar el mundo tridimensional en sus lienzos bidimensionales.
La geometría proyectiva tiene sus orígenes en el trabajo de los artistas del Renacimiento(S.XV); aunque algunos de los conceptos aparecen ya en los griegos. Con el fin de pintar cuadros más realistas, los artistas del Renacimiento trataron de descubrir las leyes que rigen la construcción de la proyección del objeto sobre una pantalla. Llegando a desarrollar los elementos de una teoría fundamental de una perspectiva geométrica, en el siglo XV eran los mejores físicos y matemáticos.
Este interés por desarrollar la geometría proyectiva se debe al cambio en la temática de la pintura. En el periodo medieval las pinturas eran de carácter principalmente religioso y los pintores representaban a los personajes y objetos de una forma sumamente estilizada, generalmente sobre fondo dorado, para subrayar que el cuadro no tenía conexión con el mundo real. En el Renacimiento con la llegada del humanismo y el antropocentrismo la pintura se centra en la representación del mundo real.
Filippo Brunelleschi (1377-1446) fue el primer artista en tener una teoría sobre el método a usar. Se dice que su interés en las matemáticas le llevó a estudiar la perspectiva, y que empezó a pintar para aplicar la geometría.
El primer libro fue escrito por Leone Battista Alberti (1404-1472), considerado el genio teórico en la perspectiva matemática, que presentó sus ideas en “Della Pintura” (1435).
Alberti propone unas reglas para pintar lo que ve un ojo (consciente de que en la visión normal ambos ojos ven la misma escena desde posiciones distintas y el cerebro percibe la profundidad superponiendo esas dos imágenes, intenta conseguir esa ilusión de profundidad a base de juegos de luces y sombras y disminución de intensidad). El método se basaba en un instrumento llamado el “Velo de Alberti”. Su principio básico es el siguiente: Considera una pirámide de rayos que parten del ojo del pintor y terminan en cada punto de la escena que desea pintar. Esta pirámide de rayos la llamo proyección. Si entre la escena y el ojo se coloca una pantalla de cristal, cada uno de los rayos determina un punto sobre el cristal formándose así una sección. Y esta sección crea en el ojo la misma imagen que la escena misma. Según la posición de la pantalla, tendremos distintas secciones del mismo objeto.
Aunque muchos artistas escribieron sobre perspectiva, destacan:
Da Vinci decía que la pintura debía ser una reproducción exacta de la realidad y que la perspectiva matemática lo permitiría. Sus escritos sobre perspectiva se encuentran en su “Tratatto Della pintura” (1651).
Piero della Francesca estableció los principios matemáticos de la perspectiva de una forma bastante completa. Su obra “De prospectiva pingendi” aportó algunos avances a las ideas de Alberti. Sus procedimientos son útiles para los artistas, pero carecen del mínimo rigor en unas demostraciones que son simples construcciones.
LA TRIGONOMÉTRICA
Los avances de las Matemáticas no han sido fruto del trabajo de una persona sino de la aportación de muchos matemáticos y de varias civilizaciones.
La trigonometría que nosotros estudiamos en un poco tiempo tardó en desarrollarse muchos siglos hasta llegar a su forma actual.
Vamos a analizar aquí un poco de su historia y de las aportaciones que a ella han hecho algunas civilizaciones y algunos matemáticos.
SIGLO X a.C.
Hace más de 3.000 años, ya se comenzó a usar la trigonometría en la civilizaciones egipcia y babilónica.
En Babilonia se usaba para realizar medidas en la agricultura, y en el Antiguo Egipto se utilizó además en la construcción de las pirámides.
También fue aplicada a los primeros estudios de astronomía, en la realización de calendarios y el cálculo del tiempo, y en la navegación. Los egipcios fueron los que establecieron el sistema sexagesimal, midiendo los ángulos en grados, minutos y segundos.
En el Antiguo Egipto se alcanza un notable desarrollo en la aritmética y la geometría, por la necesidad de calcular correctamente la superficie de los campos tras la inundación anual. También sabían calcular volúmenes, como el de la pirámide y el tronco de pirámide. La construcción de los monumentos de esta época implica amplios conocimientos de estas ciencias.
Babilonia es un antiguo reino localizado en la región de Mesopotamia, en torno al actual Iraq, fundada aproximadamente en el año 2500 a.C .y que tuvo su final alrededor del año 550 a.C.
Antiguo Egipto, el periodo comienza aproximadamente sobre el año 2700 a.C. hasta el 2200 a.C
Siglo II a.C.
Los conocimientos de los pueblos anteriores pasaron a Grecia, donde continuó su desarrollo. Allí, el matemático y astrónomo Hiparco de Nicea que vivió aproximadamente entre los años 190 y 120 a.C. fue el padre de la trigonometría. Hiparco construyó una tabla de cuerdas, que equivale a la moderna tabla de senos. Con la ayuda de dicha tabla, pudo fácilmente relacionar los lados y los ángulos de todo triángulo plano.
Siglo II
Pasan casi 300 años, para que otro matemático y astrónomo griego continuara el trabajo de Hiparco, Claudio Ptolomeo (85-165 d.C.). Aunque de origen griego Ptolomeo vivió y trabajó en Alejandría y en Egipto. Creó una nueva tabla de cuerdas con un error menor que 1/3600, utilizando para ello una circunferencia de radio 60. Junto con la tabla explicaba cómo obtenerla e incluso da ejemplos sobre cómo usarla para resolver triángulos rectángulos. También aplicó sus teorías trigonométricas a la construcción de relojes de sol y de astrolabios.
En la India, paralelamente a los avances de la matemática griega, desarrollan un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de en cuerdas, la función seno no era concebida como una proporción tal y como la definimos ahora, sino como la longitud del cateto opuesto a un ángulo de un triángulo rectángulo. Así construyeron diversas tablas para la función seno.
Siglo X
No podía faltar en el desarrollo de la trigonometría la civilización árabe. A partir del siglo VIII los matemáticos árabes continúan los trabajos de las civilizaciones griega e india. Adoptando el concepto de la función seno.
Tal fueron sus avances que en el siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco razones trigonométricas: coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente.
A ellos se debe también el tomar como radio r=1 en la circunferencia goniométrica para obtener las razones trigonométricas.
Destacan también por la exactitud de sus cálculos, por ejemplo, la tabla con los valores del seno de un ángulo, obtenidas para grados y minutos tienen un error menor a 1.5 · 10-8.
Siglo XV
La trigonometría llega a occidente a partir del siglo XII y a través de la cultura árabe.Pero no es hasta el siglo XV cuando se realiza el primer trabajo importante sobre este tema.
Fue el matemático alemán Johann Müller (1436-1476), conocido como Regiomontano, el que escribe las primeras obras sobre trigonometría, tan importantes que es considerado como un fundador de esta parte de las matemáticas. Su obra “De Triangulis Omnimodis”, está compuesta de cinco libros, en el primero da las definiciones básicas: cantidad, ratio, igualdad, círculos, arcos, cuerdas, y la función seno. Proporciona algunos axiomas que proporcionarán el sustento de los 56 teoremas que enunciará. En el segundo de los libros establece la Ley del seno y la emplea en la resolución de algunos problemas con triángulos. Determina el área de un triángulo mediante el conocimiento de dos lados y el ángulo que los sustenta. Los libros III, IV y V tratan de trigonometría esférica centrando el tema para las posteriores obras de astronomía. Posteriormente calcula dos tablas de senos, en la primera emplea una división sexagesimal y en la segunda calcula los senos de un ángulo empleando una división decimal.
Siglo XVI
Georges Joachim, conocido como Rético (1514-1576), introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.
En esa misma época, el matemático francés François Viète (1540-1603), introduce la trigonometría esférica.
Siglo XVII
A principios de este siglo se produce una gran avance de los cálculos trigonométricos gracias al matemático escocés John Napier (1550-1617), inventor de los logaritmos que simplificaron notablemente el cálculo y que planteó diversos métodos para la resolución de triángulos esféricos.
Siglo XVIII
Sir Isaac Newton (1643-1727), inventó el cálculo diferencial e integral, que permitió representar muchas funciones matemáticas, entre ellas las trigonométricas mediante potencias. Con la invención del Cálculo, la trigonometría pasa a formar parte del Análisis Matemático, donde hoy juega un papel fundamental.
Leonhard Euler (1707-1783), matemático suizo, fundó la trigonometría moderna, introdujo la notación actual de las funciones trigonométricas, popularizó el uso de la letra griega π, introdujo el uso de la función exponencial y descubrió su relación con las funciones trigonométricas, demostrando de una manera muy simple las propiedades básicas de la trigonometría.
ÁLGEBRA
Qué es Álgebra
Se conoce como álgebra a la rama de la matemática en la cual las operaciones son generalizadas empleando números, letras y signos que representan simbólicamente un número u otra entidad matemática.
Según Baldor, álgebra es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. En este sentido, se puede reseñar que la enseñanza del álgebra está dominada por la obra “Álgebra de Baldor”, libro del matemático cubano Aurelio Baldor, que desarrolla y trata de todas las hipótesis de esta ciencia.
Etimológicamente, la palabra álgebra es de origen árabe que significa “recomposición” o “reintegración”. El álgebra procede desde las civilizaciones de Babilonia y Egipto, antes de Cristo, usaban dicho método para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
Luego, continuó en la antigua Grecia, los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, como por ejemplo: teorema de Pitágoras. Los matemáticos más relevantes fueron Arquímedes, Herón y Diofante.
En sentido figurado, en el caso de estar en una situación difícil de comprender o resolver, se puede expresar; ¡esto es álgebra!
Por otro lado, se puede reseñar que aparte del libro identificado anteriormente, otro libro utilizado en latinoamérica, es el Álgebra de Mancil, conocida oficialmente como "Álgebra Elemental Moderna", siendo sus autores el Dr. Mario Octavio González Rodríguez, y el matemático americano Dr. Julian Dossy Mancill. En este punto, los estudiantes fomentaron un error en las escrituras del apellido, ya que en vez de Mancil se debe de escribir Mancill.
Expresiones algebraicas
En relación al estudio del álgebra, las expresiones algebraicas son el conjunto de números, y por símbolos representados por letras que manifiestan un valor desconocido, siendo llamado como incógnita o variable.
Los símbolos se encuentran relacionados a través de signos que indican las operaciones que se necesitan efectuar, bien sea multiplicación, suma, resta, entre otros, con el objetivo de conseguir el resultado de las variables. En este sentido, los términos se distinguen o separan por medio de signos, y en el caso de estar separadas por el signo de igualdad se llama ecuación.
Existen diferentes tipos de expresiones lo cual se diferencian por la cantidad de términos presentes, en el caso de ser uno se denomina monomio, si son dos, binomio, de ser tres, trinomio. En el caso de ser más de tres términos, se conoce como polinomio.
Álgebra elemental
El álgebra elemental, desarrolla todos los conceptos básicos del álgebra.
De acuerdo a este punto, se puede observar una diferencia con la aritmética. En la aritmética, las cantidades se expresan por números con valores determinados. Es decir, 30 expresa un solo valor, y para expresar otro se debe de reseñar un número distinto.
Por su parte, en el álgebra una letra representa el valor que le asigne el individuo, y por lo tanto, puede representar cualquier valor. No obstante, cuando en el problema se le asigna a una letra un valor determinado, no puede representar el mismo problema otro valor distinto al asignado.
Por ejemplo: 3x+5 = 14. El valor que en este caso satisface la incógnita, es 3, dicho valor se conoce como solución o raíz.
Álgebra Booleana
El álgebra booleana, es aquella utilizada para representar dos estados o valores ya sea este (1) o (0) que indica si un dispositivo se encuentra abierto o cerrado, si está abierto es porque conduce, de lo contrario (cerrado) es porque no conduce.
Dicho sistema facilita el estudio sistemático del comportamiento de los componentes lógicos.
Las variables booleanas son la base de la programación gracias al uso del sistema binario, el cual se representa con los números 1 y 0.
Álgebra lineal
El álgebra lineal, se encarga principalmente del estudio de vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales. No obstante, este tipo de división de álgebra se extiende a otras áreas como ingeniería, computación, entre otras.
Por último, el álgebra lineal data del año 1843, por el matemático, físico y astrónomo irlandés Willian Rowan Hamilton cuando crea el término vector, y creó los cuaterniones. También, con el matemático alemán Hermann Grassman cuando en el año 1844 publico su libro “La teoría lineal de extensión”.
Álgebra abstracta
El álgebra abstracta, es una parte de la matemática que se encarga del estudio de estructuras algebraicas como vectores, cuerpo, anillo, grupo. Este tipo de álgebra, puede ser llamada como álgebra moderna, en la cual muchas de sus estructuras fueron definidas en siglo XIX.
La misma nació con el objetivo de entender con mayor claridad la complejidad de las afirmaciones lógicas que se basan las matemáticas y todas las ciencias naturales, siendo utilizada actualmente en todas las ramas de las matemáticas.
TOMADO DE: https://www.significados.com/algebra/
Las Matemáticas en el Renacimiento
Las Matemáticas en el Renacimiento
Aparte de la adopción de los dígitos arábigos y del trabajo de unas pocas personas de talento (como Pappus y Fibonacci), durante los siglos que prosiguieron a Diophantus no se habían producido avances significativos en Matemáticas. En los siglos XV y XVI tuvo lugar un repentino brote de actividad impulsado por el descubrimiento chino de la imprenta, la cual llegó a Europa en 1450 y propulsó a unas Matemáticas (tanto las puras como las aplicadas) que se habían quedado estancadas en los logros de tiempos ancestrales.
Es conveniente recalcar la importancia de la imprenta para la difusión del conocimiento matemático. El copiado a mano de textos matemáticos requería mucho tiempo y esfuerzo. En los tiempos antiguos, de la mayoría de los textos sólo existía una copia única que se encontraba en la biblioteca de Alejandría; ésta es la razón por la cual toda la actividad matemática estuvo concentrada en un solo sitio durante unos ochocientos años. Con la llegada de la imprenta dichos textos pasaron a estar disponibles por todo el mundo civilizado y la gente podía aprender matemáticas en lugares tan distantes como Bohemia o Escocia.
En este episodio y en los dos siguientes se van a presentar los avances que se dieron en esta época en las siguientes áreas: notación matemática, teoría de las ecuaciones, descubrimiento de los logaritmos, y mecánica y astronomía.
La notación matemática
Johannes Regiomontanus (1436-1476), natural de Königsberg (hoy día en Alemania), dio la primera presentación sistemática de la trigonometría tanto plana como esférica usando senos y cosenos. Álgebraicamente escribía 'res' para x y 'census' para el cuadrado. Regiomontanus probablemente muriera a causa de la plaga, pero corrían rumores de que había sido envenenado por los hijos de un académico rival. Cristóbal Colón llevaba en su cuarto viaje un ejemplar del Ephemerides de Regiomontanus; de hecho utilizó su predicción del eclipse lunar del 29 de Febrero de 1504 para intimidar en Jamaica a unos indios hostiles. Por otra parte, Johannes Widman (1462-1500), natural de Eger (hoy día en la República Checa), publicó en 1849 el libro Mercantile Arithmetic, en el cual aparecen por primera vez los modernos símbolos + y -.
El italiano Luca Pacioli (1445-1517) era monje franciscano, y utilizaba los términos 'res' y 'census' de Regiomontanus. En 1509 publicó la Divina Proportione, un libro que ilustró el mismísimo Leonardo da Vinci. Hay un famoso cuadro de Pacioli (actualmente en el Museo de Nápoles) pintado por Jacopo de Barbari en el que se puede ver al monje con su amigo Guidebaldo en presencia de un dodecaedro. Uno de los problemas resuelto por Pacioli fue el siguiente:
El radio del círculo inscrito de un triángulo es 4, y los segmentos en los cuales se divide un lado por el punto de contacto valen 6 y 8. Determinar los otros lados.
El inglés Robert Recorde (1510-1558) fue el primero en utilizar el símbolo = para la igualdad, afirmando que 'no puede haber dos cosas más iguales'. Recorde se peleó con el Conde de Pembroke y murió en prisión. Por su parte, el alemán Christoff Rudolff empleó en 1525 el símbolo actual de la raíz cuadrada, mientras que el bávaro Adam Ries (1492-1559) publicó libros aritméticos de los que se hicieron más de cien reediciones y estableció definitivamente la utilización de los signos + y -.
El alemán Michael Stifel (1487-1567) era un monje que se convirtió en uno de los primeros seguidores de Lutero. Utilizaba 1A, 1AA y 1AAA para indicar A, A2 y A3, respectivamente, y fue el primero en utilizar exponentes enteros negativos. Su método para aplicar las matemáticas a la Biblia le llevó a la conclusión de que el Papa León X era el anticristo del Libro de la Revelación y también le permitió profetizar el fin del mundo para el 18 de Octubre de 1533. Los paisanos de la ciudad donde Stifel era predicador se creyeron esta profecía y se lo gastaron todo, y cuando el mundo no se acabó en la fecha prevista Stifel en vez de encontrarse en el cielo se encontraba en una celda de la cárcel de Wittenberg.
El inglés Thomas Harriot escribía a, aa y aaa para indicar a, a2 y a3, respectivamente, e introdujo los signos > y < para las desigualdades estrictas. Se fue a América con Sir Walter Raleigh y se hizo adicto al tabaco. En 1603 Harriot estableció el siguiente método para calcular el área de un triángulo esférico:
Se calcula la suma de los tres ángulos y se le restan 180 grados. Si el resultado se considera el numerador de una fracción con denominador 360 grados, dicha fracción nos indica la porción del hemisferio ocupada por el triángulo.
La teoría de las ecuaciones
Incluso ya desde los antiguos babilonios la gente sabía cómo hallar soluciones reales positivas de cualquier ecuación lineal o cuadrática, y esto lo podían hacer tanto aritmética como geométricamente. Omar Khayyam (1100 D.C.) había desarrollado un método para dibujar un segmento cuya longitud fuera una raíz real positiva de un polinomio cúbico dado. En 1225, Leonardo de Pisa dio una solución aritmética para x3+2x2+10x=20; como utilizó razonamientos aritméticos en lugar de geométricos, Leonardo pudo obtener una aproximación a la raíz positiva con una precisión de nueve lugares decimales.
El primero en desarrollar algo así como un método completo para resolver ecuaciones cúbicas (uno que en principio pudiera contemplar raíces negativas e imaginarias además de raíces positivas) parece ser que fue Scipione Ferro (1465-1526), natural de Bolonia (Italia). Podía resolver cualquier ecuación de la forma x3+bx=c, dando las soluciones con la precisión requerida. Ferro mantuvo su método en secreto (con el objetivo de tener ventaja sobre otros matemáticos en los concursos matemáticos) hasta que, justo antes de morir, se lo comunicó a un tal Antonio Fiore.
En 1530 Zuanne da Coi envió los siguientes problemas a Niccolo Tartaglia (1500-1557):
x3 + 3x2 = 5 , x3 + 6x2 + 8x = 1000
Las matemáticas de la Europa medieval
Historia de las Matemáticas Las Matemáticas de la Europa Medieval (500-1400)
Matemáticas Bizantinas:
Este periodo marca la transición entre la civilización griega y el resurgir de las matemáticas de Occidente. • Entre los principales matemáticos bizantinos están:
• Isidoro de Mileto, Antemio de Tralles, Juan Filopón, Miguel Psellos, Jorge Paquímero, Máximo Planudes y Manuel Moscopoulos.
Isidoro de Mileto • Isidoro de Mileto fue uno de los últimos directores de la Academia de Platón en Atenas.
• Dio a conocer los comentarios de Eutoquio y mediante sus escritos suscitó un nuevo interés por los trabajos matemáticos de Arquímedes y Apolonio.
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Antonio de Tralles • Fue el arquitecto de Santa Sofía de Constantinopla. Es célebre tanto por su obra arquitectónica como por su obra sobre Los Espejos Ardientes en las que se describen las propiedades del foco de la Parábola.
Juan Filopón • Fue un físico de talento, a algunos de sus trabajos se les puede asignar la etiqueta de “matemáticas aplicadas”.
• Escribió un comentario sobre la Introducción aritmética de Nicómaco.
Miguel Psellos • Filósofo en Atenas y Constantinopla, mantuvo la popularidad del tratado de Nicómaco al escribir él también un comentario sobre dicha aritmética(500 años después de Filopón).
• Se le atribuye un tratado elemental sobre el quadrivium (aritmética, música, geometría y astronomía).
• En el campo de la lógica reanudó el estudio de los silogismos de Aristóteles.
Jorge Paquímero • Escribió dos siglos después de Psellos, un resumen del quadrivium y un comentario sobre la Aritmética de Diofanto.
Máximo Planudes • Escribió una obra sobre la numeración india que se introdujo en el Imperio Bizantino hacia el siglo XIII, aproximadamente en la misma época en la que se impuso en Occidente.
Manuel de Moscopoulos • Expuso un método de formación de cuadrados mágicos dedicado al geómetra Nicolás Rhabdas.
Occidente después del Imperio Romano
Boecio • Ancius Manlius Severinus Boetius fue notable hombre de estado, pero caído en desgracia fue condenado a muerte en el año 525. Durante su estancia en la prisión escribió su célebre ensayo filosófico De consolatione philosophiae.
• Es autor de obras para cada rama del quadrivium, escribió también sobre filosofía, teología y música.
Boecio • Sus dos libros De institutione arithmetica libri duo son una remodelación de la Introducción aritmética de Nicómaco. Este libro trata los diversos métodos de clasificación de los números y las propiedades numéricas de las diferentes clasificaciones obtenidas.
Casiodoro • Casiodoro o Casiodorus Senator era discípulo de Boecio. Su obra titulada De Arithmetica es un resumen elemental de la aritmética de Boecio.
• En esta obra recurre a las sagradas escrituras para demostrar que Dios creó el universo basándose en los conceptos de número, medida y peso.
Isidoro de Sevilla • Isidorus Hispalensis o Isidoro de Sevilla fue un erudito considerado como el sabio más eminente de su época. Compiló una enciclopedia de 20 libros, en los cuales hizo un resumen de la aritmética de Boecio.
Beda el Venerable • El monje benedictino Beda el Venerable(673-735) llegó a ser uno de los más grandes sabios de su tiempo.
• Conocía el griego, sus numerosos trabajos comprenden: una tratado sobre el calendario eclesiástico y una obra sobre el tema de la representación de los números por medio de los dedos. Mediante sus conocimientos de astronomía escribió un tratado en el cual determina la fecha de la Pascua.
Alcuino de York • Es célebre en la historia por su obra para la juventud titulada Propositiones ad acuendos juvenes; el cual es un conjunto de proposiciones de artimética, geometría y agrimensura, que constituyen uno de los ejemplos más antiguos de “pasatiempos matemáticos”
LAS MATEMÁTICAS DEL ISLAM
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
Por la época en que Brahmagupta escribía sus tratados
matemáticos ya se había derrumbado el imperio Sabeo de la Arabia
Felix, y la península arábiga se encontraba sumida en una profunda
crisis. Arabia estaba habitada entonces en su mayor parte por
nómadas del desiertos, conocidos con el nombre de beduinos, que no
sabían leer ni escribir, y en este marco socio político surgió el profeta
Mahoma, nacido en la Meca en el año 570 d.c. Mahoma fue el
fundador del Islam, religión que se extendió en poco tiempo por toda
Arabia y que tiene como dogmas la creencia en un Dios único y en una
vida futura, en la resurrección y en el juicio final.
La primera parte de su vida, fue la de un ciudadano medio que
vive en una ciudad de 25.000 habitantes. A los 40 años empezó a
predicar, primero en un pequeño grupo de fieles, después a la
población en general, sentando así las bases de la religión islámica.
En el año 622 d.C, su vida se vio amenazada por un complot,
lo que le obligó a trasladarse a Yatrib, más tarde denominada Medina.
Esta “huida”, conocida como la Hégira, señala el comienzo de la Era
Mahometana, que iba a ejercer durante siglos una poderosa influencia
en el desarrollo de las matemáticas.
La unidad de la civilización islámica se basaba mucho en la
religión de Mahoma y en las actividades económicas que en una
hegemonía política real. No obstante, esta debilidad política no impidió
a los árabes dominar grandes territorios durante siglos y tomar el relevo
en la Escuela de Alejandría, mientras que el Occidente atravesaba
siglos oscuros y poco propicios a la evolución de las matemáticas.
PRINCIPALES MATEMÁTICOS ÁRABES
Muhammad ibn Musa al-Khawarizmi
Abu Jafar Muhammad ibn Musa al-Khawarizmi, nació alrededor
del 780 d.C. Su nombre sugiere que, o bien él, o bien su familia
procedían de Khawarizmi, al este del mar Caspio en lo que es hoy Asia
Central soviética.
Por el año 820, tras adquirir una reputación de científico
dotado en Merv, capital de provincias orientales del califato abasí, fue
invitado por el califa Al-Mamun a trasladarse a Bagdad, donde fue
nombrado, primero astrónomo y después, jefe de la biblioteca de la
Casa de la Sabiduría.
Este matemático, escribió mas de media docena de obras
astronómicas y matemáticas. Además de tablas astronómicas y
tratados sobre el astrolabio y el reloj de sol, escribió dos libros sobre
aritmética y álgebra que jugaron un papel muy importante en la
historia de las matemáticas. En su obra aritmética, cuyo título en latín
es De numero Indorum (el original árabe no ha llegado hasta nosotros),
al-Khawarizmi presenta diversas reglas para el cálculo numérico,
basadas en los algoritmos indios además de exponer detalladamente el
sistema de numeración utilizado por los indios. En Europa, a finales de
la Edad Media, atribuyeron al autor árabe la paternidad de la
numeración utilizada. Y así el nuevo sistema de notación vino a ser
conocido como “el de al-Khawarizmi” y , a través de deformaciones del
nombre en la traducción y en la trasmisión, simplemente como
“algorismi”.
La obra principal de al-Khawarizmi es Hisab al-<abr wa’l
muqqabala, que significa “ciencia de la transposición y la
reducción”, donde el término “la-yabr” se convirtió en “álgebra”,
sinónimo de la ciencia de las ecuaciones. A veces se le llama a
Diofanto el padre del álgebra, pero ese título se le aplicaría a alKhwarizmi. A los árabes en general les gusta extraordinariamente
poder seguir una argumentación lógica correcta y clara de las premisas
a la conclusión, así como una organización sistemática, aspectos
ambos en los que ni Diofanto ni los hindúes brillaban precisamente. Los
hindúes tenían muy desarrollada una capacidad de asociación y
analogía, de intuición y de instinto estético unidos a una imaginación
natural, mientras que los árabes tenían una mentalidad más práctica y
más a ras de tierra en su enfoque de la matemática.
Al-yabr: El al-yabr nos ha llegado en dos versiones, la árabe y una
traducción latina, pero en la traducción latina, que lleva por título Liber
algebrae et almucabola, falta una parte considerable del manuscrito
original árabe. Por ejemplo, la versión latina no tiene prólogo,
probablemente por una razón elemental de precaución por parte del
traductor, ya que en su prólogo en árabe el autor formula las alabanzas
usuales al profeta Mahoma y a Al-Mamun.
La palabra al-yabr significa probablemente algo así como
“restauración” o “completación”, y parece querer referirse a la
transposición de términos que están restados al otro miembro de la
ecuación, sumándolos.
Las ecuaciones cuadráticas
La traducción latina del Álgebra de Al-Khwarizmi comienza con
una breve introducción acerca el principio de notación posicional para
los números, y a continuación se expone, en seis breves capítulos, la
solución de los seis tipos de ecuaciones que resultan al considerar
simultáneamente en presencia los tres posibles tipos de cantidades:
cuadrados, raíces, números (es decir, x, y, y números). Tal como
expresaba esta situación Abu-Kamil Shoja ben Aslam, un matemático
posterior.
El capítulo I cubre, en tres breves párrafos, el caso de los
cuadrados igual a raíces, que podemos expresar en notación moderna
como x² = 5x, x²/3 = 4x y 5x² = 10x, ecuaciones para las que se dan las
soluciones x = 5 , x = 12 , x = 2 , respectivamente (la raíz x = 0 no se
reconoce como tal).
El capítulo II cubre el caso de los cuadrados igual a numeros, y
el capítulo III resuelve el caso de las raíces igual a números, ofreciendo
de nuevo tres ejemplos en cada capítulo para cubrir los casos en que el
coeficiente del término variable es igual, mayor o menor que 1.
Los capítulos IV, V, VI son más interesantes, puesto que se
ocupan de la resolución de los tres casos clásicos que presentan las
ecuaciones cuadráticas completas:
1) Cuadrados y raíces igual a números
2) Cuadrados y números igual a raíces
3) Raíces y números igual a cuadrados
La fundamentación geométrica
El Álgebra de al-Khwarizmi revela en su contenido elementos
griegos inconfundibles, pero la primera demostración geométrica con
que nos encontramos en ella tiene poco que ver con la matemática
clásica griega. Para resolver la ecuación x² + 10x = 39 traza alKhwarizmi un cuadrado ab para representar x, y sobre los cuatros
lados de este cuadrado construye cuatro rectángulos c, d, e y f, de 2 ½
unidades de ancho cada uno. Para completar el cuadrado mayor que
los incluye a todos ellos hay que añadir los cuatro cuadrados menores
de las esquinas (que aparecen punteados en la figura siguiente), cada
uno de los cuales tiene un área de 6 ¼ unidades. Por lo tanto, para
“completar el cuadrado” añadimos cuatro veces 6 ¼ ó 25 unidades,
obteniendo así un cuadrado de área total 39 + 25 = 64 unidades, tal
como resulta de la ecuación dada. Por lo tanto, el lado del cuadrado
mayor debe ser igual a 8 unidades, del cual, restando dos veces 2 ½ ó 5 unidades, obtenemos x = 3 como solución, demostrando así que la
solución hallada en la ecuación de tipo 4 era correcta.
Un problema de Herón
Algunos de los problemas de al-Khwarizmi evidencian con toda
claridad, su dependencia de la corriente matemática que proviene de los
babilónicos pasando por Herón. Y uno de ellos al menos fue tomado
directamente de Herón con gran probabilidad, ya que tanto la figura como
las dimensiones son las mismas. Se trata de inscribir un cuadrado en un
triángulo isósceles de base 12 unidades y lados iguales de 10 unidades,
preguntando el problema la medida del lado de dicho cuadrado. El autor
del Álgebra calcula en primer lugar, con ayuda del teorema de Pitágoras,
la altura del triángulo, 8 unidades así que el área del triángulo es 48.
Llamando al lado del cuadrado “la cosa”, se puede ver que se obtendrá el
cuadrado de “la cosa” restándole al triángulo grande los tres triángulos
pequeños que quedan fuera del cuadrado.
LA MATEMÁTICA DE INDIA Y CHINA
Matemáticas de india Y china en la edad media
-Esta época (500-1200d.c.), es la más importante en la India en lo que se refiere a las matemáticas. -A finales del siglo V nació Aryabhata, del cual nos quedó su obra más importante llamada Aryabhatiya, en el que trata temas matemáticos entre otros. Sabemos que el sistema de numeración arábiga, aunque de hecho se originó en la India, fue adoptado en esta época por la civilización islámica y después transmitido a occidente, donde, desde entonces, ha venido siendo utilizado académica y regularmente. -Los números naturales son de lo más importante que adoptó la matemática india. Entre las operaciones aritméticas cabe destacar la multiplicación en celosía, en celdilla o en cuadrilátero, y la división larga o método de la galera. -La astronomía también juega un papel muy importante en la India, tanto, que era su principal herramienta para combinarla con las matemáticas y obtener así lo que deseaban en algunos casos.
Numeración hindú
La segunda mitad del Aryabhatiya trata de la medida y cálculo de tiempos y de trigonometría esférica, y aquí es donde nos encontramos con un elemento nuevo que iba a dejar una huella permanente en la matemática de las generaciones futuras: el sistema de numeración posicional decimal.
La trigonometría hindú
- El desarrollo de nuestro sistema de notación para los números naturales fue sin duda una de las dos contribuciones más importante de la India a la historia de la matemática. La otra consistió en la introducción de lo equivalente a la función seno en trigonometría, para reemplazar las tablas de cuerdas griegas; las tablas más antiguas de la relación seno que han llegado hasta nosotros son las que figuran en los Siddhantas y en el Aryabhatiya, donde se dan los senos de los ángulos menores o iguales que 90° para 24 intervalos angulares iguales de 3( 3° 4/ ) cada uno.
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