Ecuaciones en Derivadas Parciales

-Teoría computacional de números.

 Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales: Se llama ecuación diferencial en derivadas parciales o abreviadamente ecuación en derivadas parciales (EDP) a una ecuación de la forma 
                                           
que permite conexionar las variables independientes xi , ∀i = 1, 2, . . . , n, la función que se busca y sus derivadas parciales.
Se cumple que: ki , ∀i = 1, 2, . . . , n son enteros no negativos tales que: k1+k2+· · ·+kn = m. 
La función F es la función prefijada de sus argumentos. 

 (Orden) Se llama orden de una EDP el orden superior de las derivadas parciales que figuran en la ecuación. 

Fundamentos del cálculo

En cuanto a los matemáticos en el mundo británico del siglo XVIII después de Newton, el más importante fue Colin Maclaurin, quien fue profesor de la Universidad de Edimburgo, Escocia, discípulo directo de Newton. Al igual que en el continente con Euler o Clairaut, Maclaurin trabajó: -La extensión de los métodos diferenciales. -Las curvas de segundo y órdenes superiores. -La atracción de los elipsoides de revolución. -Geometría proyectiva.

Dos de su obras: Geometría orgánica (1720) y Tratado sobre fluxiones (2 volúmenes, 1742). En este último aparece la famosa "serie de Maclaurin'' que en realidad había sido introducida por Brook Taylor en 1715. • Las "series de Taylor'' fueron aplicadas por Euler en 1755. Taylor también estudió el problema de la cuerda vibrante. Asunto de gran importancia para la historia de las matemáticas en Gran Bretaña fueron las consecuencias de la confrontación entre Newton y Leibniz.

                                      

Finalmente, en 1820, los matemáticos jóvenes de Cambridge se dieron cuenta de que sus reaccionarios mayores no honraban la memoria de Newton con su obstinado nacionalismo, y adoptaron las mejoras llevadas al cálculo por los del continente, e introdujeron la geometría analítica y la notación de Leibniz en los exámenes. Cambridge revivió matemáticamente. Mientras que Alemania y Francia tuvieron un gran dominio en el análisis y la geometría, fue en las islas británicas donde se darían los resultados más importantes en el álgebra, excepto por la teoría de grupos.

Teorema Fundamental del Cálculo Usando la Regla de la cadena obtenemos como consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal: PARTE 1:

 

PARTE 2: • El segundo teorema fundamental del cálculo integral (o regla de Newton-Leibniz, o también regla de Barrow, en honor al matemático inglés Isaac Barrow, profesor de Isaac Newton) es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función.

ÁLGEBRA Y TEORÍA DE NÚMEROS 

HISTORIA DE LA TEORÍA DE NÚMEROS:  • Los matemáticos en la India se han interesado en encontrar soluciones enteras a las ecuaciones diofánticas desde mediados del I milenio a. C.

 • El primer uso geométrico de las ecuaciones diofánticas se remonta a los Shulba-sutras, los cuales fueron escritos entre los siglos V y III a. C. 

• El religioso Baudhaiana (en el siglo IV a. C.) encontró dos conjuntos de enteros positivos a un conjunto de ecuaciones diofánticas simultáneas, y también se usan ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cuatro incógnitas. 

• Apastamba (en el siglo III a. C.) usaba ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cinco incógnitas.

                                             

• Los matemáticos yainas fueron los primeros en descartar la idea de que todos los infinitos son los mismos o iguales. Reconocen cinco tipos de infinitos diferentes: infinito en una o dos direcciones (unidimensionales), infinito en superficies (bidimensional), infinito en todas partes (tridimensional) y perpetuamente infinito (en un número infinito de dimensiones).

                                  

• La teoría de números fue una de las disciplinas de estudio favoritas entre los matemáticos griegos de Alejandría (en Egipto) a partir del siglo III a. C., quienes tenían conciencia del concepto de ecuación diofántica en sus casos particulares. El primer matemático helenístico que estudió estas ecuaciones fue Diofanto. 

• Las ecuaciones diofantinas fueron estudiadas de manera intensiva por los matemáticos indúes medievales, quienes fueron los primeros en buscar sistemáticamente métodos para la determinación de soluciones enteras.

                                         

• Ariabhata (476-550) dio la primera descripción explícita de la solución entera general de la ecuación diofantina lineal ay + bx = c, la cual aparece en su texto Ariabhatíia. El algoritmo kuttaka es considerado como una de las contribuciones más significativas de Ariabhata en las matemáticas puras, el cual encuentra las soluciones enteras de un sistema de ecuaciones diofantinas lineales, un problema de importante aplicación en la astronomía. También encuentra la solución general de la ecuación lineal indeterminada utilizando este método.

                                         

Campos Según los métodos empleados y las preguntas que se intentan contestar, la teoría de números se subdivide en diversas ramas.

 -Teoría elemental de números. 

-Teoría analítica de números. 

-Teoría de números aditiva. 

-Teoría algebraica de números.

 -Teoría geométrica de números.

 -Teoría combinatoria de números.

ÁLGEBRA • Jean Le Rond d'Alembert trató de demostrar que la forma general de las raíces de las ecuaciones de un grado cualquiera era la misma que se deducía de las de segundo grado en 1746 en Memorias de Berlín (posteriormente hicieron trabajos Fomenox, Laplace y Cule y lo perfeccionó Laplace) • El escocés Colin Maclaurin: A treatise of algebra,.., Londres, 1748 (Serie de Maclaurin) • Jacopo Riccati: Opere del conte Jacopo Riccati.., Lucca: J. Giusti, 1761- 65, 4 vols. (sobre su obra: Algebraic Riccati equations / P. Lancaster, Oxford, 1995.)

                                     

                                              

GEOMETRÍA  

Es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos(paralelas, perpendiculares, curva s, superficies, polígonos, poliedros, etc.). Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanías.

La geometría es una parte de la matemática que se encarga de estudiar las propiedades y las medidas de una figura en un plano o en un espacio. Para representar distintos aspectos de la realidad, la geometría apela a los denominados sistemas formales o axiomáticos (compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí) y a nociones como rectas, curvas y puntos, entre otras.

Hay que dejar patente que la geometría es una de las ciencias más antiguas que existen en la actualidad pues sus orígenes ya se han establecido en lo que era el Antiguo Egipto. Así, gracias a los trabajos de importantes figuras como Heródoto o Euclides, hemos sabido que desde tiempos inmemoriales aquella estaba muy desarrollada pues era fundamental para el estudio de áreas, volúmenes y longitudes.

                                                           

Historia de la geometría: La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo.Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana. 

                                            

Personajes que descubrieron la geometría:  Los antiguos babilonios y egipcios transmitieron a los griegos ciertos procedimientos geométricos, aunque no estructurados en forma de ciencia. El primero en establecer la deducción racional, es decir la demostración de una verdad a partir de unas premisas, fue Tales de Mileto, uno de los siete sabios de Grecia. Pero fue el gran Euclides el que sistematizó todos los conocimientos en forma de ciencia, principalmente geométrica, con sus Elementos. Hasta no hace mucho ha sido el libro más vendido de la historia, tras la Biblia.