La palabra Álgebra proviene de uno de los más ilustres matemáticos árabes Al-Khowarizmi (800 d.c) que publicó una obra, titulada Al-gebr' we'l mukabala, de suma importancia en la historia de la Matemática, ya que se considera el primer tratado de Álgebra con intenciones didácticas para resolver problemas de la vida cotidiana, con procedimientos parecidos a los actuales, aunque todavía la notación debía perfeccionarse.
El álgebra tuvo sus primeros avances en Babilonia, unos 1.000 años a.C.,usaban primordialmente el álgebra para resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Por el contrario, la mayoría de los egipcios de esta época resolvían tales ecuaciones por métodos geométricos.
Ahora, el progreso del desarrollo del Álgebra es dividido de la siguiente manera:
- Álgebra Retórica (2000 a.C. a 1600 a.C.): no existen abreviaturas, ni símbolos especiales. Se usa el mismo lenguaje escrito.
- Álgebra Sincopada (Siglo III Diofanto): El término lo ideó Nesselman en 1842 y se refiere al Álgebra que utiliza algunos términos técnicos y abreviaturas.
- Álgebra simbólica (Siglos XVI y XVII): Es un Álgebra más parecida a la que utilizamos hoy en día, con símbolos especiales, incógnitas, etc.
Ahora les presento una pequeña tabla que representa una línea de tiempo de la aparición de algunos de los símbolos que se utilizan en álgebra.
A mi parecer, el desarrollo del Álgebra a través de la historia ha sido muy importante, pues a venido a simplificar la resolución de diferentes problemas de la vida cotidiana de las personas de las civilizaciones y culturas que se interesaban en la utilización de la matemática para resolver los mismos. Además, el Álgebra permitió que los matemáticos pudieran hacer nuevos descubrimientos en diferentes ramas de las matemáticas al utilizar símbolos que no necesariamente representaban algo concreto
Es la fase moderna del desarrollo del álgebra,inaugurado por Francisco Vieta en el siglo XVI, quien fue el primero en usar literales para las incógnitas y los parámetros de las ecuaciones. La palabra álgebra procede de la palabra alj-br,que significa restauración y reducción,el álgebra simbólica se encuentra precedida por el álgebra retórica y el álgebra sincopada,en el álgebra retórica (2000-1600) no existían palabras abreviadas ni símbolos especiales por ejemplo si queríamos efectuar una operación 40*10+30=430 tendríamos que escribir 40 por 10 más 30 igual a 430 esto parece resultar simple, claro siempre y cuando solo sea utilizado para operaciones cortas o no tan complejas imaginan tener que expresar un polinomio muy extenso que conste de al menos 15 términos con tres incógnitas en cada termino y cada termino con grado mayor que dos vaya que sería un gran problema es bueno saber que ya nosotros no tuvimos que pasar por un caso como éste en pocas palabras el uso del lenguaje algebraico retórica no era muy práctico que digamos,después vino el álgebra sincopada ésta ya utilizaba algunos términos técnicos pero no era de uso universal por ejemplo cada quien usaba sus términos diferentes quizá los árabes efectuaban sus cálculos de maneras distintas a los chinos,esto era un gran problema debido a las diferencias entre comerciantes en ésas épocas ni si quiera tenemos idea pero podemos imaginar que muchas de éstas diferencias no terminaban muy bien como mínimo terminaban en palabrerías entre comerciantes al no poder llegar a acuerdos lógicamente siempre han existido personas desconfiadas y como no serlo,sí por ejemplo nosotros simplemente si viajamos a un país y desconocemos el idioma que hablan no nos dará mucha confianza una comunicación con señas para poder efectuar una compra es por eso que el álgebra ha visto la necesidad de la transformación como algo absolutamente necesario lo cual ha tomado mucho tiempo, después se introduce al fin el álgebra simbólica ésta ya utiliza símbolos, tales como letras para las incógnitas y consonantes a valores conocidos (constantes),prácticamente es el álgebra que utilizamos hoy en día con el cual nos podemos evitar conflictos que tenían nuestros antepasados tales como una larga escritura, diferencias debido al diferente lenguaje algebraico utilizado en alguna transacción, pero sobre todo lo más importante es que es la base de las ciencias exactas gracias al álgebra simbólica podemos efectuar cálculos ya sean muy grandes normalmente utilizados en la astronomía como calcular distancias de planetas,estrellas longitudes y otras cosas, como podemos calcular también cantidades muy pequeñas como cálculos relacionados a los átomos o su masa, el álgebra nos sirve también en la vida cotidiana por ejemplo si queremos hacer un cálculo donde queremos saber cuánto podemos ahorraren un año podemos hacer una ecuación simple, si ahorramos 15 pesos diarios pondremos que x=15 y utilizaremos la variable “y” para el mes entonces solo tendríamos que efectuarla operación Y=30x lo que nos daría un resultado de y= 450 de ésta forma podemos usar el álgebra hasta en la casa, gracias al álgebra han tenido lugar muchos avances en la ciencia y tecnología,es tan importante que es necesaria para poder explicar muchos fenómenos físicos hasta calcularla simple trayectoria de una pelota de baseball conlleva el uso del álgebra como hasta algo más complejo como calcularla distancia comprendida entre un planeta de una galaxia y otro planeta en galaxia diferente gracias al lenguaje de algebra universal que tenemos hoy en día en cuanto a matemáticas aquí y en China utilizamos un mismo lenguaje algebraico.
La notación común para las matrices utiliza una letra negrita para la matriz, e identifica sus elementos en términos de filas y columnas de la matriz. Los elementos normalmente se especifican por subíndices arc con el subíndice de fila (r) primero.
Una notación abreviada para las matrices es
Las matrices con las mismas dimensiones se pueden sumar, restar, o multiplicar por una constante de la misma manera que los números ordinarios, mediante la aplicación de la operación a cada elemento. Estas operaciones siguen las reglas de combinación de forma similar a los números ordinarios.
Teniendo en cuenta que una matriz es una formación rectangular, podemos hablar de la matriz m x n (se lee matriz de m por n) como la que tiene m filas y n columnas.
Usando la notación abreviada de matrices introducidas anteriormente, podemos describir algunas de las propiedades de las matrices. La transpuesta AT de una matriz m x n A[ajk], es la matriz n x m que tiene la primera fila de A como su primera columna, la segunda filade A como su segunda columna, y así sucesivamente. Las matrices simétricas y las matrices antisimétricas son matrices cuadradas cuya transposición es igual a la matriz o menos la matriz original, respectivamente:
La multiplicación de matrices requiere un procedimiento definido y se define solamente para dos matrices si el número de filas de la segunda matriz es igual al número de columnas de la primera, como se muestra a continuación.
Multiplicación de Matrices
En las aplicaciones de matrices se invoca a menudo la multiplicación de dos matrices, la cual requiere de reglas de combinación de los elementos de las matrices. Utilizando una sola letra mayúscula negrita para representar matrices, la multiplicación se puede escribir:
En la práctica habitual se utiliza letras minúsculas para los elementos de las matrices, con dos subíndices en orden, especificando la fila y la columna. Con ello, este proceso de multiplicación de matrices para matrices de 3x3 puede ser representado como:
La multiplicación de matrices consiste en encontrar los elementos cij de la matriz producto mediante la aplicación de una norma específica, que implica la multiplicación de los elementos de la fila iésima de la matriz A, por los elementos de la columna jésima de la matriz B. Puesto que esto es suficientemente confuso, puede ayudar a representar visualmente el proceso según sigue:
Las operaciones que se realizan en el cálculo del producto de dos matrices son las mismas que las realizadas en la formación de un producto escalar de dos vectores. Podría ser útil pensar en el proceso de la formación del elemento cjk tomando el producto escalar de la fila j de A por la columna k de B.
Dada la naturaleza del producto de matrices, se define solamente si el número de filas en la matriz B es el mismo que el número de columnas de la matriz A. Cuando se forma el producto matricial AB, la matriz del producto tendrá el mismo número de filas de A y el mismo número de columnas de B, como se ilustra a continuación.
Las áreas sombreadas son un recordatorio de que la fila j-ésima de la matriz A y la columna k-ésima de la matriz B se combinan para producir el valor del coeficiente cjk en la matriz C del producto.
Reglas para la Combinación de Matrices
En la suma y multiplicación por una constante, las matrices siguen similares reglas de combinación a aquellas del álgebra. En la multiplicación de matrices aparecen notables diferencias.
Adición:
La multiplicación de matrices tiene algunas propiedades similares a las de los números (k = escalar):
- El rigor en matemáticas nació con Augustin-Louis Cauchy.
- Cauchy trató de establecer una base rigurosa para el análisis matemático.
- Un buen ejemplo fue su demostración del teorema del valor intermedio, que afirma que toda función real f(x) continua en un intervalo [a,b] asume cada valor posible entre f(a) y f(b) en ese intervalo.
- Cauchy enseñó la demostración de este teorema por primera vez en el curso que impartió en la École Royale Polytechnique en 1816.
- Su libro de texto de 1821, admirado por más de una generación de matemáticos, presenta dos demostraciones diferentes; la más famosa, la que todos los estudiantes de matemáticas aprenden, fue relegada a un apéndice. Nos lo recuerda Michael J. Barany, “Stuck in the Middle: Cauchy’s Intermediate Value Theorem and the History of Analytic Rigor,”
- Cauchy fue un profesor impopular tanto entre los estudiantes como entre sus compañeros de facultad. Sus clases eran muy densas y difíciles de seguir, muchas veces prolongaba la clase más allá de su horario oficial y además realizaba continuas revisiones del temario.
- Cauchy asume que todas las funciones continuas son diferenciables. Sin embargo, lo importante del proyecto de reforma del análisis iniciado por Cauchy, que trata de llevar el rigor al análisis de la mano de la geometría y del álgebra, es que inició un camino hacia el rigor cuya culminación fue el motor de gran parte de la matemática de todo el siglo XIX, con la honrosa excepción del genial Henri Poincaré que vio en el rigor un corsé del que había que deshacerse.
- El cénit del rigor en las matemáticas llegó en el siglo XX con Nicolas Bourbaki, el nombre colectivo de un grupo de matemáticos franceses que, en los años 1930, se pusieron a revisar todos los fundamentos de las matemáticas con una exigencia absoluta en el rigor tratando de combatir la corriente que había nacido con Poincaré. Matemáticos como Jean Dieudonné, André Weil, Henri Cartan, Claude Chevalley, y otros antiguos alumnos de la Escuela Normal Superior de París recogieron el guante de Cauchy e impusieron a toda la matemática el concepto de rigor matemático como definición de la labor del matemático.
No hay comentarios:
Publicar un comentario